こんにちは。
>デザインを変えて反映ボタンをクリックしてもしばらく変わらず、翌日になって変わっていたりした
これは、ブラウザに表示される情報がきちんと更新されず、古い情報のまま表示され続けていたためと思われます。
(ブログではなく、ブラウザの問題です)
こういうケースはキーボードの「F5」キーを押してブラウザの情報を強制的に更新するか、残っているキャッシュと呼ばれるデータを削除してまっさらな状態にすることで改善されます。
詳しい方法は下記ページを参照してください。
■表示、動作がおかしいな、と思った時にやってみること
http://cocolog.kaiketsu.nifty.com/tips/83908/thread>左右のパーツの配置を替えようと試みましたが、ドラッグしようにもドラッグできず
これは、現在ココログがIE10、IE11に対応していないために起こっている不具合です。
下記ページで対策が解説されていますので参照してブラウザの設定を変更してください。
■Internet Explorer(IE11)でcocologの編集を可能にするには
http://cocolog.kaiketsu.nifty.com/tips/87521/threadなお、タイトルの「デザインの配置」については具体的にどのように変わったのかが質問文では不明のためなんとも言えません。
ただ、3日にココログで障害が発生し、その影響でデザインが崩れたというアナウンスがありましたのでもしかしたらそれが原因かもしれません。
その場合も一番上で回答した「F5」で更新、あるいは「キャッシュクリア」で改善されるようです。
参考:2014.03.04 障害後のブログの表示崩れについて
http://info.cocolog-nifty.com/info/2014/03/post-b027.html以上、ご参考まで。