こんにちは。
以前の使い方が
>ログインをクリックすると、ユーザー名、パスワードを入力しなくても、自動的に自分のブログの管理ページに行きついて
ということであれば、管理画面をログアウトせずに使っていたのではないでしょうか。
ココログでは同じPCの同じブラウザで2つ同時に別々のIDは開けません。
1つのIDを使用したあと別のIDを使う際は、前に使っていたIDを完全にログアウトする必要があります。
ログアウトしたあとで別のIDで入りなおせば、画面が切り替わるはずです。
もしもログアウトしているのに同じIDの画面しか開けないというケースなら、ブラウザがきちんとログアウト情報を読み込んでいない(古い情報のままになっている)可能性があります。
その場合は下記の処理を実行してみてください。
■ブラウザの初期化(キャッシュとCookieの削除)の方法を教えてください
http://cocolog.kaiketsu.nifty.com/faqs/79645/thread
あるいは、IDごとにブラウザを変える(IE、Firefox、Google Chromeなど)というのも有効だと思います。
ブラウザが変われば、片方でログインしたままでも他のIDが開けます。
(私は一人で複数のIDを持っていますが、いつもその方法で2つ同時にログインしています)
以上、ご参考まで。